Use la eliminacion de Gauss con pivoteo parcial para resolver el sistema de ecuaciones lineales 3 x 3 dado en notaci´on matricial,
dentro de la ventana de comando:
La primera parte implica ensamblar la matriz de coeficientes y el vector lado derecho, ası:
>>A=[4 1 -1; 5 1 2;6 1 1]
>>b=[-2 4 6]'
>>A_copy=A;
>>b_copy=b;
Note que se guarda una copia de esas entradas para su uso posterior.
La segunda parte del procedimiento es la b´usqueda del pivote. En la t´ecnica de pivoteo parcial, este se escoge como el elemento
que tenga mayor valor absoluto. Para la primera columna es el 6, entonces intercambiamos la primera fila con la tercera usando lo
siguiente:
>>A([1 3],
=A([3 1],>>b([1 3],
=b([3 1],La tercera parte implica realizar el proceso de eliminaci´on hacia adelante. Para lo cual se hacen cero todos los coeficientes de x1
debajo del elemento a11 (el pivote). Para eliminar el elemento a21, la operaci´on por rengl´on es la siguiente:
>>b(2,
=b(2,-A(2,1)/A(1,1)*b(1,>>A(2,
=A(2,-A(2,1)/A(1,1)*A(1,Notese que esa operaci´on se realiza sobre toda la fila 2 incluido el lado derecho.
Despues se aplica la misma operaci´on al regl´on 3, para eliminar el coeficiente de x1 de la tercera fila, es decir, eliminar el elemento
a31, ´usese lo siguiente:
>>b(3,
=b(3,-A(3,1)/A(1,1)*b(1,>>A(3,
=A(3,-A(3,1)/A(1,1)*A(1,Para completar la eliminaci´on hacia adelante, el coeficiente de x2 de la tercera fila debe eliminarse, pero antes se escoge el pivote de la
segunda columna, considerando como candidatos los elementos debajo de la diagonal en esa segunda columna. Nuevamente, usando
la t´ecnica de pivoteo parcial se escoge el elemento a32 que tiene mayor valor absoluto que a22. Para lograrlo se usa el intercambio de
renglones, as´ı:
>>A([2 3],
=A([3 2],>>b([2 3],
=b([3 2],Ahora se elimina x2 de la tercera fila, es decir eliminar el elemento a32 usando la operaci´on por rengl´on siguiente:
>>b(3,
=b(3,-A(3,2)/A(2,2)*b(2,>>A(3,
=A(3,-A(3,2)/A(2,2)*A(2,Notese como el sistema original se reduce a lograr una matriz de coeficiente equivalente en la forma triangular superior, la cual es mas
simple de resolver que en la forma original. Finalmente se puede resolver este sistema por sustituci´on hacia atr´as. Aqu´ı se procede
resolviendo primero para encontrar el valor de x3, as´ı:
>>x=zeros(3,1)
>>x(3)=b(3)/A(3,3)
Este resultado se puede sustituir en la ecuaci´on 2 representada por el rengl´on 2 y resolver para x2, as´ı:
>>x(2)=(b(2)-A(2,3:end)*x(3:end))/A(2,2)
Igualmente se pueden sustituir x3 y x2 en la ecuaci´on 1 representada por el rengl´on 1 y despejar para x1, as´ı:
>>x(1)=(b(1)-A(1,2:end)*x(2:end))/A(1,1)
Este vector de soluciones se puede verificar preliminarmente sustituyendo en el sistema original, del cual se hizo una copia.
>>res=A_copy*x-b_copy
Notese que el residual es diferente de cero (s´ı se obtuviera una soluci´on exacta libre de errores de redondeo), pero si es muy peque
ño.
Evaluaci on
1. En el proceso de eliminaci´on, primero se afecta al vector lado derecho y despu´es a la matriz de coeficientes, cual es la raz´on?.
2. Para resolver la situaci´on arriba, se propone lo siguiente, tomando como ejemplo la eliminaci´on del coeficiente de x1 en el
rengl´on 3:
>>m_ij=A(3,1)/A(1,1)
>>A(3,
=A(3,-m_ij*A(1,>>b(3,
=b(3,-m_ij*b(1,Ahora se pueden afectar en cualquier orden el lado derecho y la matriz. Verifiquelo.
3. En el despeje de x2 y x1 en la sustituci´on hacia atr´as aparece el operador , espec´ıficamente que producto es este de los que se
sabe realiza tal operador?.
4. Para ser consecuente con el operador en el punto de arriba, existe necesidad de inicializar a la variable x con ceros y vector
columna. Explique.
5. Para despejar x2 y x1, se desea cambiar el operador por la funci´on dot e incializar x=zeros(1,3). Como implementarlo
y verif´ıquelo?.
6. Se adjunta un programa que implementa el m´etodo de eliminaci´on gaussiana con pivoteo parcial que resuelve sistemas de
ecuaciones lineales de todo tama˜no. Identifique en este todas las fases descritas aqu´ı. Ejec´utelo y verifique su funcionamiento,
por ejemplo, comparandolo con el operador n.
aca esta el documento:
ieagropecuariadeurumita.edu.co/desarrollo/gauss_exem.pdf
