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[fredycc]

Hola colegas, acudo a ustedes para que me auxilien ha despejar la siguiente ecuación  que se usa para calcular cuotas de un préstamo. La ecuación es la siguiente:

pagos = (tasa * prestamo) / (1-(1+tasa)^n)

Porque nada más no me sale  ; deseo despejar tasa, muchas gracias por anticipado.


Saludos

[Delphius]

Hola fredycc ¿está bien esa ecuación? Porque la variable tasa está tanto en el denominador como el numerador y no creo que pueda despejarse así 

¿Podrías indicar de donde surge la ecuación? Como para tener como referencia.

Saludos,

[Delphius]

Lo que yo poco se del tema, es que esa ecuación no es correcta.
El método francés, o al menos así es como lo conozco, consiste en una ecuación de éste modo:

Cuota = Prestamo * [(interes * (1 + interés)ⁿ)/((interés + 1)ⁿ - 1)]

Con este método lo que se consigue es justamente tener una cuota fija, es decir la misma, para todos los períodos (meses, año, días, etc).
Para hacer el paso inverso, es decir calcular los interes correspondientes (que no despejar) se debe hacer período a período:
1) Para el 1er período se calcula el valor correspondiente del interés al préstamo:
valor_interes = interes * prestamo // si consideramos que interes está expresado en forma decimal como la ecuación original.
2) Para los siguientes períodos simplemente se va según el saldo que va quedando.

Por ejemplo, digamos que el préstamo es de 1000, a 5 períodos, y el interés es de 4% (0,04)

Si reemplazamos llegamos a:
Cuota = 1000 * [(0,04 * (0,04 + 1)⁵)/((0,04 + 1)⁵ - 1)]
Cuota = 224,63

Para el n = 1, entonces:
valor interés = 0,04 * 1000 = 40
Por lo que amortización = 224,63 - 40 = 184,63
Y Saldo = 1000 - 184,63 = 815,37

n = 2:
valor interés = 0,04 * 815,37 = 32,61
Amortización = 224,63 - 32,61 = 192,02
Saldo = 815,37 - 192,02 = 623,35

Y así se va repitiendo el proceso.

Al menos ese es el método más parecido que le conozco a esa ecuación. El punto es que tanto en el numerador y el denominador debe haber alguna forma de "cancelar". Fíjate que la ecuación para el francés en el numerador y el denominador está la misma potencia. De modo que la unidad de medición se mantiene... de hecho ¡no tiene! se cancela. La única unidad que queda la aporta la variable préstamo, que es pesos. Esto se explica a que si aún despejase en tu ecuación pesos sobre pesosⁿ aún quedaría en 1/pesos^n-1. Lo cual no es bueno.

Saludos,

[fredycc]

Wow Delphius, como siempre  , muchas gracias por la aclaración sin duda me haces ver mi realidad, esa fórmula la ví en un video que explicaba el como calcular la cuota de un préstamo:
cómo calcular la cuota de un préstamo
Este coincidía con un cálculo que me habían hecho llegar precisamente donde se aplicaba el método francés como bien comentas, solo que me interesaba ahora la tasa y por eso pensé que podría ayudarme.

Muchas gracias por la explicación Delphius, me pondré a estudiar con tu explicación haber si doy con el clavo. 

Saludos

[Delphius]

esa fórmula la ví en un video que explicaba el como calcular la cuota de un préstamo:

(...)

Este coincidía con un cálculo que me habían hecho llegar precisamente donde se aplicaba el método francés como bien comentas

Voy a ver el video.
Si dices que justamente con esa ecuación llegás al mismo resultado que con el método francés pues tendré que estudiarlo mejor.
A ver si recuerdo algo de matemática 

Saludos,

[fredycc]

Si dices que justamente con esa ecuación llegás al mismo resultado que con el método francés pues tendré que estudiarlo mejor.
A ver si recuerdo algo de matemática 

No para nada Delphius como crees, lo que pasa es que esa formula me coincidía con el dato que me dieron y pensé que podría ayudarme esta y me dejaste claro que no es por ahí, pero ahora que estoy recordando me puse a buscar esto debido una dichosa fórmula en Excel que no encontré y desconozco el algoritmo, se llama TASA/RATE y esta estaba en el dichoso ejemplo que me hicieron llegar.

TASA
Devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede tener cero o más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!

Sintaxis

TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)

Vea la función VA para obtener una descripción completa de los argumentos nper; pago; va; vf y tipo.

Nper    es el número total de períodos de pago en una anualidad.

Pago    es el pago efectuado en cada período, que no puede variar durante la vida de la anualidad. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés, pero no incluye ningún otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago, deberá incluirse el argumento vf.

Va    es el valor actual , es decir, el valor que tiene actualmente una serie de pagos futuros.

Vf    es el valor futuro o un saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo, el valor futuro de un préstamo es 0).

Tipo    es el número 0 ó 1 e indica el vencimiento de los pagos.

En el ejemplo solo pasan los 3 primeros parámetros y esta devuelve una tasa, si sabes como podría codificarla o información del algoritmo te lo agradecería mucho.

Gracias

[Delphius]

Si se trata de imitar lo que hace Excel entonces estamos un poquito más complicado.... puesto que es complicado saber que hay por debajo de un software privativo. Aunque seguramente debe estar bien documentado que método usa.
La mayoría de las funciones de monetarias/contables de Excel están relacionadas de algún modo. En concreto, para la función TASA() está vinculada (según el enlace "véase también") con NPER, PAGO, PAGOINT, VA, y VF. Justamente la ayuda sobre VA (Valor Esperado) tiene la descripción de la fórmula empleada:

va * (1 + tasa)^nper + pago * (1 + tasa * tipo)

Lo que se resume a:

(((1+ tasa)^nper - 1)/tasa) + vf = 0

Para cuando tasa = 0 queda en:
(pago * nper) + va + vf = 0

Saludos,

[fredycc]

Si se trata de imitar lo que hace Excel entonces estamos un poquito más complicado.... puesto que es complicado saber que hay por debajo de un software privativo. Aunque seguramente debe estar bien documentado que método usa.
La mayoría de las funciones de monetarias/contables de Excel están relacionadas de algún modo. En concreto, para la función TASA() está vinculada (según el enlace "véase también") con NPER, PAGO, PAGOINT, VA, y VF. Justamente la ayuda sobre VA (Valor Esperado) tiene la descripción de la fórmula empleada:

va * (1 + tasa)^nper + pago * (1 + tasa * tipo)

Lo que se resume a:

(((1+ tasa)^nper - 1)/tasa) + vf = 0

Para cuando tasa = 0 queda en:
(pago * nper) + va + vf = 0

Saludos,

Gracias mi estimado Delphius, al menos veo una luz en el camino ahora 

Saludos

[Delphius]

No se si será más luz pero al menos es algo,
El asunto es que ahora haría falta saber de donde y como sale ese VA y VF.

Por lo pronto según tu fórmula propuesta podemos decir que:
1 - (1 + t)ⁿ = (t * p)/c

De modo que:
[1 - (1 + t)ⁿ] - [(t * p)/c] = 0

Por lo cual:
[(1 + t)ⁿ] + [(t * p)/c] = 1

Si desarrollamos la suma de fracciones:

[(1 + t)ⁿ] * c + (t * p) = 1

De aquí podemos decir...

c + tⁿ * c + t * p = 1

Si es que no metí mal el dedo, creo que ya podría seguir solito.

Eso es de acuerdo a la que tu presentaste... ahora, según el método frances pues tengo que pensarlo mejorcito.

Saludos,

[fredycc]

Sin duda me has dado cátedra  y te lo agradezco  , en verdad me haz ayudado mucho, mañana continuaré con tu valiosa información para dar con el resultado que espero.

Saludos

[Delphius]

El asunto es que a mi no me cuadra la idea de tratar de despejar el interés indicado según la cuota, el préstamo y la cantidad de períodos.

De lo que yo poco recuerdo de los conceptos de Economía y Contabilidad que me fueron dados hace ya añares... es que el método francés está basado en el interés compuesto. En el interés compuesto, el capital de un período a otro se calcula en base a algo muy simple:
Cf_n = Ci * (1 + i)ⁿ
Siendo Cf el Capital final y Ci el capital final.

Básicamente es que manteniendo el interés fijo a cierto período de dinero se habrá capitalizado en progresión ¿geométrica? (favor de aclararme bien... a estas horas mi cabeza está muy off)

De este modo uno puede ver que i = (Cf/Ci)^1/n - 1

Si efectivamente existe cierta correlación entre el método francés y el interés compuesto entonces la suma total de las cuotas debería de ser igual a Cf, y el de Ci correspondiente al préstamo. Y el cálculo del interés debería ser directo.
Ojo, estoy suponiendo... no me crean demasiado y si en caso de algunas pruebas se obtienen resultados coincidentes en sus comprobaciones ¡es una coincidencia! 

¿Porqué no hay un perito contable cuando se lo necesita? 

Saludos,

[Delphius]

Hay... pero si es que seré tarugo.
¡Es que no es posible estimar el interés!
En el método francés lo que se consigue es fijar la cuota de modo que en cada período el interés vaya ajustándose decrecientemente ya que les queda menos por pagar.

Como hay n períodos, hay entonces para el tipo de interés prefijado, n intereses.

Aquí una explicación, suponiendo que está todo en orden.

Lo que veo de esa página es que me cambian los papeles en la demostración y aparentemente se ha reducido la expresión del lado de los intereses... 

No se.. ya estoy muy confundido.

Saludos,

[fredycc]

Aquí una explicación, suponiendo que está todo en orden.

Esa información esta perfecta Delphius, también he encontrado un video que explica la misma fórmula, creo solo es momento de implementarla  .

como calcular la tasa de interes con formulas de anualidades

Empezaré a probar los resultados que me da ahora mismo. Una vez asimilado bueno es momento de ver por su implementación  . Gracias una vez más.

Saludos

[Delphius]

Me sorprende la NO existencia de una página sobre el tema en Wikipedia.
El método francés es el más extendido y adoptado por los bancos, aunque para ciertos casos se emplea el Alemán y en menor medida el Americano. En argentina se emplea tanto el Francés como el Alemán. Cada uno tiene sus pros y contras... aunque el Francés es el que más se utiliza.

La fórmula inicial que yo te he expuesto es la correspondiente al francés, y el ejemplo con los números que hice está bien. Tal puede apreciarse en la página en wikipedia versión inglesa.

No le prestes atención al desarrollo matemático que me mandé antes. Está muy mal... no es sano ponerse jugar al geniesito con los números a las 2 am      ¿Cómo no me dieron en la cabeza? ¡Por Dios, como pude haber llegado a que i(i + 1)ⁿ = iⁿ⁺¹ + i 
Mandenme a 1er año de secundaria ¡please!

Mejor me quedo con mis álgebra lineal, allí se que no meto la pata. Salvo cuando confundo rotar sobre las filas vs columnas.   

Ya mismo me pongo a ver el video a ver si yo me entero también.

Saludos,
PD: Repito y sostengo, ¿Donde hay un contador/perito contable cuando uno lo necesita? 

[Delphius]

AVISO:
Ten en cuenta que el desarrollo que se expone en la página de Y!R lo hace desde el lado inverso, es decir: calcular el valor del préstamo según la cuota.

Es decir:
prestamo = cuota * [((1 + i)ⁿ - 1)/(i * (1 + i)ⁿ)]

Mientras que si quisiera encontrarse la cuota en base al préstamo, al invertirlo, el denominador pasa el numerador y viceversa.

cuota = prestamo * [(i * (1 + i)ⁿ)/((1 + i)ⁿ - 1)]

Esto es lo que me ha confundido también anoche y no veía una relación entre esto y su supuesta forma reducida:
(1 - (1 + i)^-n)/i

Eso me chamuscó los cables.

Saludos,

[fredycc]

Si Delphius, tal como apuntas, ya me salió la tasa  , la misma que se obtiene con la fórmula de excel,  mil gracias, después de 150 iteraciones la aproximación no tiene problemas.

Aquí una explicación, suponiendo que está todo en orden.

Muchas gracias por tu tiempo y paciencia  , me haz salvado.

Saludos

[Delphius]

No estaría mal que compartas el algoritmo y el código que conseguiste.
De paso lo imprimo y lo uso como diana y me pongo a jugar al tiro al blanco  ... me hizo un guiso la cabeza 

Saludos,

[fredycc]

No estaría mal que compartas el algoritmo y el código que conseguiste.

Claro Delphius de momento lo he hecho en excel, claro sin la dichosa fórmula de TASA/RATE y si me dió el dato correcto  , con la finalidad de ver como se comportada iteración tras iteración, luce sencillo una vez pasado esto  , codificarlo parece no ser de otro mundo, en cuanto lo tenga listo lo posteo aquí.



Saludos

[Delphius]

OK 
A modo consejo, cuando se trata de algoritmos iterativos en el área del cálculo numérico se estilan dos posibilidades de parada:
1) Finalizar tras m iteraciones. Y aquí hay que jugárselas a ver si en verdad después de m iteraciones llega al resultado esperado. Y/o
2) Finalizar al conseguir congruencia. Esto es aceptando cierto márgen de error, considerando que el valor estimado se aproxime al valor real, o bien que la aproximación numérica no supere cierto margen de tolerancia.

Para el caso 2, si es posible determinar como debiera obtenerse el valor real, la comprobación de cuan aproximados son el real y el obtenido se hace generalmente considerrando el error relativo:

1 - Abs(Real/Obtenido) < Tolerancia

Pero en los casos en que no es posible tener modo de llegar a un valor real se estila por aproximación entre el cálculo anterior y el actual, en términos del error absoluto:

Abs(Actual - Anterior) < Tolerancia

En este caso se debe aplicar esta última. Ya que no hay modo de estimar el real, sólo nos queda confiar en una posible convergencia y en una mejora en los decimales progresivamente.
El algoritmo se detiene en cuanto la diferencia entre el valor estimado anteriormente y en la actual iteración es tan chica y menor a la tolerancia que se define.

Saludos,

[fredycc]

Pero en los casos en que no es posible tener modo de llegar a un valor real se estila por aproximación entre el cálculo anterior y el actual, en términos del error absoluto:

Abs(Actual - Anterior) < Tolerancia

En este caso se debe aplicar esta última. Ya que no hay modo de estimar el real, sólo nos queda confiar en una posible convergencia y en una mejora en los decimales progresivamente.
El algoritmo se detiene en cuanto la diferencia entre el valor estimado anteriormente y en la actual iteración es tan chica y menor a la tolerancia que se define.

Grandioso tip, si lo creo necesario  , gracias nuevamente

Saludos